Materi Matriks

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menemui permasalahan yang dalam menyelesaikannya perlu memodelkan menjadi bentuk yang sederhana. Salah satu model matematika dalam menyelesaikan permasalahan adalah matriks. Misal Perpustakaan mempunyai koleksi buku Matematika, Bahasa Inggris, dan Ekonomi, Buku Kelas X Matematika berjumlah 45, Bahasa Inggris 26, dan Ekonomi 35. Buku kelas XI Matematika berjumlah 40, Bahasa Inggris 30, dan Ekonomi 56. Buku kelas XII Matematika berjumlah 20, Bahasa Inggris 15, dan Ekonomi 25. Jika Anda menjadi pustakawan bagaimana Anda menyajikan data tersebut agar mudah dibaca? Salah satunya dengan menggunakan matriks yang akan kita pelajari.

Standar Kompetensi

3. Menggunakan konsep matriks dan menerapkannya dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar

3.1 Menggunakan sifat-sifat operasi matriks dalam pemecahkan masalah.

3.2 Memahami konsep matriks sebagai representasi numerik dalam kaitannya dengan konteks nyata.

3.3 Menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan matriks.

Tujuan Pembelajaran

  1. Mengetahui definisi matriks dan notasi matriks.
  2. Menyelesaikan operasi penjumlahan dua matriks.
  3. Menyelesaikan operasi pengurangan dua matriks.
  4. Menyelesaikan operasi matriks dengan skalar.
  5. Menyelesaikan operasi perkalian dua matriks.

Peta Konsep

A. Definisi Matriks

Dalam matematika, susunan bilangan yang ditulis menurut baris dan kolom serta ditandai dengan tanda kurung di sebelah kiri dan sebelah kanannya disebut matriks. Nama baris dan kolom disesuaikan dengan urutannya. Masing-masing bilangan yang ada di dalam tanda kurung tersebut disebut elemen  matriks. Hal ini dapat dilihat dengan mudah pada diagram tersebut.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan :

Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan yang berbentuk jajaran persegi atau persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom dan dibatasi oleh kurung biasa atau kurung siku. Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks, sedangkan kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.

B. Notasi dan Ordo Suatu Matriks

Suatu matriks biasanya diberi nama dengan huruf kapital, seperti A, B, C,… dan sebagainya.

Contoh:

  • Dengan menandai kurung biasa

  • Dengan menandai kurung siku

C. Transpose Suatu Matriks

Transpose matriks A yang berordo m × n  adalah sebuah matriks berordo n × m yang diperoleh dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadi elemen kolom dan sebaliknya.

Beberapa sifat matriks transpose:

D. Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut berordo sama dan nilai elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks sama.

Contoh :

Kedua contoh di atas adalah contoh dua buah matriks yang sama. Tampak bahwa elemen-elemen seletak dari matriks yang berada di ruas kiri dan matriks yang berada di ruas kanan adalah sama. Matriks di ruas kiri dan kanan juga mempunyai  ordo yang sama. Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B jika matriks A dan B mempunyai ordo yang sama dan semua elemen yan seletak bernilai sama. Elemen yang seletak adalah elemen yang mempunyai nomor baris dan nomor kolom yang sama.

E. Operasi Aljabar pada Matriks

  1. Penjumlahan Matriks

Penjumlahan dua matriks yang berordo sama dilakukan dengan menjumlahkan elemen yang seletak. Kedua matriks atau lebih dapat dilakukan operasi penjumlahan jika berordo sama.

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

  1. A + B = B + A (sifat komutatif )
  2. (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif)
  3. Unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehingga A + O = O + A = A
  4. Invers penjumlahan A adalah –A sehingga A + (–A)  =  (–A) + A = O
  1. Pengurangan Matriks
  • Lawan Suatu Matriks

Contoh :

  • Pengurangan Matriks

Karena pengurangan pada dasarnya sama dengan penjumlahan terhadap lawan bilangan penambah maka pengurangan matriks B terhadap matriks A dapat diartikan sebagai penjumlahan matriks A dengan lawan matriks B, atau dapat ditulis A – B = A + (–B)

  1. Perkalian Bilangan Real (Skalar) dengan Matriks

Misalkan A suatu matriks berordo m × n dan k adalah suatu skalar (bilangan real). Misalkan kA diperoleh dengan mengalikan semua elemen A dengan skalar k. Perkalian bilangan real (skalar) dengan suatu matriks dapat dilakukan tanpa syarat tertentu. Artinya, semua matriks dengan ordo sembarang dapat dikalikan dengan bilangan real (skalar).

Dalam notasi yang lebih lengkap dapat ditulis sebagai berikut.

  1. Perkalian Matriks

Dua buah matriks A  dan B dapat dikalikan apabila banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Elemen-elemen hasil kalinya diperoleh dengan menjumlahkan hasil kali elemen pada baris matriks A dengan elemen pada kolom matriks B (yang dinyatakan dengan A × B atau A × B atau AB.

Sifat-sifat perkalian matriks

Contoh :

   

Jawab :

Berdasarkan contoh-contoh tersebut, dapat ditentukan sifat-sifat perkalian matriks sebagai berikut.

Misalkan matriks A, B, dan C dapat dikalikan atau dijumlahkan, jika k bilangan real (skalar), berlaku sifat-sifat perkalian matriks sebagai berikut.

www.000webhost.com